3.1 백스테핑 슬라이딩 모드 제어

일반적인 제어기법들은 각각 운용되는 고도 및 마하 속도에 따라 선형화된 모델을 통해 제어 상수를 계산하고, 해당 상수를 스케줄링하여 사용한다. 이러한 기법들은 사전에 각 운용환경에 적합한 제어 상수를 계산해야 하므로 많은 시간과 노력이 필요하다. 또한, 선형화 과정에서 비선형성이 강한 비행체의 특성 때문에 불안정성을 유발할 수 있다는 단점도 존재한다. 따라서, 우리는 이러한 점을 극복할 수 있는 비행체의 종축 비선형 제어기법을 제안한다.

첫 번째로, 비행경로 각, 피치 각 그리고 각속도를 모두 안정하게 만드는 백스테핑 제어 입력은 다음과 같은 참고문헌을 기반으로 유도되었다^[14]. 비행경로 각은 식 (3)과 같이 정의한다.

이를 통해 비행경로 각의 오차는 다음과 같다.

식 (4)를 미분하여 비행경로 각 오차의 미분 값은 비행경로 각의 미분 값과 비행경로 각 명령의 미분 값의 차이로 유도된다. 식 (2)와 수치 미분을 통해 구한 비행경로 각 명령의 미분 값을 이용하여 식 (5)와 같이 정의할 수 있다.

이때,q¯=12ρVT2S로 정의된다.

비행경로 각의 리아프노프(Lyapunov) 후보 함수는 비행경로 각의 안정성 분석을 위해 식 (6)과 같이 정의된다.

비행경로 각의 리아프노프 후보 함수를 시간에 대해서 미분하여 정리하면 다음과 같다.

가상의 피치 각의 제어 명령 α₁를 구하기 위해 먼저 받음각 명령 α_ref을 구해야 한다. 식 (7)를 0으로 만드는 값 α_ref,1을 찾고, 리아프노프 함수를 음수로 만드는 α_ref,2을 추가하여 받음각 명령을 유도하게 된다.

따라서, 비행경로 각을 받음각 명령에 더하여 가상의 피치 각의 제어 명령을 구하게 된다.

따라서, c₁이 양수로 가정하면 비행경로 각의 리아프노프 후보 함수의 시간에 대한 변화량이 항상 음수가 되게 된다.

두 번째로는 가상의 제어 명령 α₁을 이용하여 피치 각을 점근적으로 안정하게 하고자 피치 각의 오차와 피치 각도 오차의 미분 값은 다음과 같이 정의된다.

비행경로 각과 피치 각 모두 안정성을 보장하기 위해 식 (13)와 같이 리아프노프 후보 함수를 정의한다.

V2₂ 리아프노프 후보 함수를 시간에 대해서 미분하여 정리하면 다음과 같다.

가상의 각속도 제어 명령 α₂은 점근적 안정성을 보장하고자 다음 식 (16)와 같이 정의된다.

따라서, c₂이 양수로 가정하면 V₂ 리아프노프 후보 함수의 시간에 대한 변화량이 항상 음수가 되게 된다.

세 번째로 각속도를 포함한 모든 상태 변수들이 안정적으로 제어되도록 만드는 제어 명령 u를 설계하고자 한다. 각속도의 오차와 각속도 오차의 미분 값은 식 (18) 및 식 (19)과 같이 정의된다.

각속도 제어기에서는 외란 및 불확실성에 대해서 강건한 성능을 보장하기 위해서 적분 값이 추가된 슬라이딩 표면이 설계된다.

모든 변수의 안정성을 보장하기 위해 식 (20)와 같은 새로운 리아프노프 후보 함수를 정의한다.

V₃ 리아프노프 후보 함수를 시간에 대해서 미분하여 정리하면 다음과 같다.

이때,f(x)와 B는 다음과 같이 정의된다.

따라서, 우리는 다음과 식 (25)-(27)과 같이 제어 명령을 유도할 수 있다.

이때, sign(x)는 입력 값에 대해 부호를 나타내는 함수이며, 이는 채터링(chattering) 현상을 발생하여 구동기에 악영향을 주는 것으로 알려져 있으므로, 다음과 같은 얇은 경계 φ_bl를 가지는 함수를 사용하여 강인 제어기를 설계하였다. 따라서, 식 (25)는 다음과 같이 다시 정의된다.

식 (28)에서 c₃ 및 c₄을 양수로 설계하고 강인 제어 성분의 β를 외란 및 불확실성의 크기보다 크게 설계하면 V₃ 리아프노프 후보 함수의 시간에 대한 변화량이 항상 음수이므로 시스템의 안정성이 확보된다.

3.2 비선형 외란 관측기 기반의 백스테핑 슬라이딩 모드 제어 기법

시스템 모델의 불확실성이나 외란이 크게 존재할 때, 백스테핑 슬라이딩 기법의 제어 성능은 설계한 강인 제어 파라미터에 따라 변화하게 된다. 따라서, 이러한 영향들을 보상해줄 수 있는 추가적인 알고리즘이 필요하다. 본 연구에서는 다양한 플랫폼에 적용되어 바람 같은 외란을 제거하는 기법인 비선형 외란 관측기를 추가하여 문제를 해결하고자 한다. 백스테핑 제어기에서 각속도 제어기의 비선형 외란 관측기를 추가하여 설계를 진행하였다. 본 비선형 외란 관측기에서 x = q로 가정하여 설계를 진행하였다. 그리고 외란에 대해서 매우 느리게 변화한다고 가정하면 ∆ ≃ 0, 실제 외란을 아래와 같이 정의할 수 있다.

식 (31)을 이용하여 다음과 같이 일반적인 외란 관측기를 설계할 수 있다^[15].

이때, Δ^ 은 추정된 외란을 의미하고,c는 임의의 관측기 추정 상수를 나타낸다.

앞서 언급된 느리게 변화하는 가정과 식 (32)을 이용하여 일반적인 관측기의 추정 오차 e_DO,Δ는 다음과 같이 정의된다.

식 (33)을 통해서 양수인 c를 사용하게 되면 외란에 대한 추정 오차는 점근적으로 수렴하게 된다.

이와 같은 방식으로 외란을 추정하기 위해 우리는 각속도에 대한 미분 값이 필요하다. 하지만, 각속도 미분 값을 측정할 수 있는 센서가 존재하지 않기 때문에 이와 같은 문제를 해결하고자 내부 변수 z를 대신 추정하여 각속도 미분 값 없이도 외란을 추정하고자 하였다.

이때,p(x)는 임의의 비선형 함수를 나타낸다.

그리고 비선형 함수 p(x)는 정의되고 이를 통해 비선형 외란 관측기의 상수 l(x)도 정의된다.

내부 변수 z를 추정하기 위해서, 우리는 다음 식 (35)와 같이 내부 변수의 미분 값이 정리된다.

따라서, 우리는 비선형 외란 관측기에서 추정된 외란의 오차 동역학 모델을 다음과 같이 정리할 수 있다.

따라서, 일반적인 외란 관측기와 동일하게 양수인 l(x)를 설계하게 되면 외란에 대한 추정은 점근적으로 수렴하게 되고, 이 비선형 외란 관측기 상수는 외란에 대한 오차 방정식의 시정수의 역수와 동일한 물리적 의미를 가진다. 본 연구에서는 시뮬레이션을 통해 적절한 수준의 관측기 제어 상수를 선정하였다.

비선형 외란 관측기에서 추정된 외란을 사용하였을 때도 제안하는 제어기의 안정성을 확인하고자 식 (39)와 같은 새로운 리아프노프 후보 함수를 정의한다.

이때, β는 이전 백스테핑 슬라이딩 모드 제어기와 다르게 비선형 외란 관측기에서 가정했던 Δ ≈ 0와 작은 c₅ 설계로 발생하는 추정 성능들을 보상하기 위해 사용되며, 더욱 작은 값으로 제어기 설계가 가능하여 채터링 문제를 더욱 피할 수 있다.

3.3 모델 예측제어

일정한 고도를 보장하면서 지형을 추종하기 위해서는 최적의 비행경로 각이 요구된다. 따라서, 지형 고도에서 안전고도를 추가한 고도를 입력으로 하면서, 비행경로 각의 제약조건을 고려하며 최적의 값을 얻기 위해 모델 예측제어가 사용되었다.

모델 예측제어는 현재 시각 기준으로 미래의 변수와 제어 입력을 예측하여 최적의 제어 입력을 얻어내는 기법이다. 시스템 모델을 이용한 유한한 지평선을 통해 우리는 최적화된 제어 입력이 원하는 참조 경로로 수렴하게 만들 수 있다. 최적화 과정에서는 추종 오차와 제어 입력으로 구성된 2차 비용함수를 사용하여 매 시간 최적의 제어 입력을 도출한다. 사용한 모델 예측제어 알고리즘의 개념도는 Fig. 3과 같다.

Fig. 3.

Model predictive control

모델 예측제어를 이용한 지형 추종에서 비행경로 각을 제어입력이며, 출력을 비행고도로 정의하였다. 모델 예측제어에서 사용한 제어 명령은 앞서 언급된 지형 고도에 안전고도를 더한 형태로 정의된다.

이때, h_TE, h_MSD는 지형 고도와 최소 이격 거리이다.

그리고 작은 각 가정과 제안된 제어기가 올바르게 동작하여 비행경로 각이 다음과 같은 오차 방정식을 만족한다고 하면 시스템 모델을 식 (42) 및 (43)과 같이 정리할 수 있다.

여기서, τ는 비행경로 각의 폐루프 응답의 시정수를 나타낸다.

위의 식을 통해 유도 명령 생성을 위한 시스템 모델을 연속 시간에서 다음과 같이 정리할 수 있다.

위의 식 (44)를 시간 간격 T_d을 이용하여 이산화를 진행하면 다음과 같이 정리된다.

이때, 변수 x = [h,γ], 제어 입력 u = γ_c 그리고 출력은 y = h 이다.

최적의 비행경로 각을 얻기 위해서 시스템 모델에 관한 등식 형태의 제약조건과 비행경로 각과 비행고도에 대한 부등식 형태의 제약조건을 고려해서 최적화 문제를 풀어야 한다.

2차 함수 형태의 비용함수는 추종 경로 오차 e_k = y_k - r_k의 합 그리고 제어입력의 합 형태로 정의된다. 모델 예측제어와 제약조건은 다음과 같다.

이때, Y_k = [y_k,y_k+1,…y_k+p]이며 p는 예측하고 싶은 미래 제어 입력 수를 나타내고, Q_MPC, R_MPC은 추종 경로 오차 및 제어 입력의 가중치이다. 또한, 모델 예측제어의 최적화 문제는 2차 비용함수 형태로 정의가 되었기 때문에 2차 계획법을 통해서 계산되었다.

4.1 전방 지역 탐색

우선, 항공기 전방의 지역을 탐색하여 전방 지역의 고도 프로파일을 획득해야 한다. 본 시뮬레이션에서는 DEM을 기반으로 전방 지역 탐색을 수행하였으며, DEM으로는 해상도 90 m의 DTED level 1을 사용하였다. 전방 지역 탐색 주기는 0.5초로 설정하였으며 10초 이후 도달 거리까지 탐색한다.

Fig. 4는 전방 지역 탐색 방식을 보여준다. 빨간 점은 항공기의 현재 위치를 의미하며, 항공기의 위치 및 속도의 불확실성을 고려하여 방위각 방향으로 방사 형태의 탐색 지역(흰색)을 설정한다. 위치와 속도의 불확실성을 각각 δ_P 및 δ_v로 표시하였다. 연속된 범위를 탐색 주기를 기준으로 나누어 격자화하며, 해당 영역은 항공기가 도달 가능한 영역으로 각 분할된 지역에서 가장 높은 지형 고도를 채택한다. 이렇게 채택된 지형 고도 프로파일을 최악의 프로파일(Worst Case Profile, WCP)라 하며, WCP에 최소 여유 고도(Minimum Separation Distance, MSD)를 추가하여 최종 임무궤적을 생성한다. Fig. 5는 전방 지역 탐색을 이용하여 생성된 궤적 결과를 보여준다. 검은 점선은 가장 높은 지형 고도로 생성된 WCP를 의미하며, 100 m의 MSD 를 더하여 최종 임무궤적을 생성한다.

Fig. 4.

Generate the terrain profile by scanning area in DEM

Fig. 5.

The trajectory for terrain following

4.2 시뮬레이션 환경

제안하는 알고리즘의 성능을 검증하기 위해 우리는 MATLAB 환경에서 시뮬레이션을 진행하였으며, MPC toolbox를 사용하여 모델 예측제어 알고리즘을 구현하였다. 시뮬레이션은 CPU는 AMD Ryzen 7 7700X RAM 은 32 GB 환경에서 진행되었다. 시뮬레이션의 시작 지점은 북위 36.3°, 동경 127.15°이며, 속도는 200 m/s 이다. 항공기는 북동 방향으로 등속 운동하며, 비행시간은 150초로 하였다. 또한, 다음과 같은 초기 값 γ₀ = 0, ⎸₀ = 0, q₀ = 0으로 진행하였다. 시뮬레이션에 사용한 시간 간격(∆t)은 0.001로 선정하였다. 기타 시뮬레이션에 사용된 공력 모델. 시스템과 제어기 변수들은 Table 1에 나타냈다.

Table 1.

Simulation model parameters

4.3 시뮬레이션 결과

시뮬레이션은 크게 제안하는 제어기에 대한 분석과 통합 환경에서의 지형 추종 성능 비교로 진행된다. 제안하는 제어기에 대한 검증을 계단 입력형태의 비행경로 각 명령을 인가하여 공기역학 계수 C_m,δe가 40 프로의 불확실성을 가지는 경우와 일정한 크기의 바람과 확률적 바람으로 구성된 외란에 대한 두 가지 경우에 대해서 분석하였다.

Fig. 6은 공기역학 계수의 불확실성이 존재하는 상황에서 제안하는 제어기와 적분기 기반의 백스테핑(I-BS) 및 적분기가 추가된 백스테핑 기법(BS-I)의 비행경로 각 추종 그래프이다. 공기역학 계수 불확실성이 4초에 인가되고 제안하는 기법을 제외하고는 계단 입력에서 오버슈트가 발생하는 것을 볼 수 있으며, 적분기 기반의 백스테핑은 최대 10도의 오버슈트를 가지게 되었다. 단순히 적분기 형태의 구조를 통해서는 공기역학 계수로 야기된 불확실성을 효과적으로 제거하지 못하는 것으로 판단된다. 하지만, 제안하는 기법은 비선형 외란 관측기와 강인 제어기를 통해 불확실성으로 야기된 영향을 빠르게 추정하여 작은 오차를 가지는 것을 확인할 수 있었다. Fig. 7은 각 기법의 피치 각도 및 각속도 그래프를 나타낸다. 나머지 두 기법의 각속도 그래프에서 명령을 따라가지 못하고 있지만 제안하는 기법은 정확하게 추종하는 것을 확인할 수 있다. 이러한 결과들은 비행경로 각 평균 제곱근 오차에서도 비행경로 각, 피치 각, 각속도에서 제일 작은 평균 제곱 오차(RMSE)를 가지는 것을 Table 2에서 확인 할 수 있다.

Fig. 6.

Result of flight path angle in Case 1-1

Fig. 7.

Result of pitch angle and rate in Case 1-1

Table 2.

RMSE in Case 1-1

Fig. 8은 일정한 바람 및 확률적 바람 외란이 존재하는 상황에서 제안하는 제어기와 적분기 기반의 백스테핑, 적분기가 추가된 백스테핑 기법들의 비행경로 각 추종 그래프이다. 임의의 외란이 4초에 인가되고 제안하는 기법을 제외하고는 바로 제어 명령을 벗어나게 되고, 최대 3도의 오차를 가지게 되었다. 또한, 지속해서 정상상태 오차를 가지는 것으로 나타났다. 본 연구에서 제안하는 기법은 임의의 외란이 인가된 후에도 제어 명령을 올바르게 추종하는 것을 확인할 수 있었다. Fig. 9는 각 기법의 피치 각도 및 각속도 그래프를 나타낸다. 이전 경우와 같이 나머지 두 기법의 각속도 그래프에서 명령을 따라가지 못하고 정상상태 오차를 가지고 있었으며, Table 3에서 제어 성능을 확인할 수 있다. 또한, Fig. 10은 본 시뮬레이션에서 사용한 외란 그래프이며, 크기 2 deg/s을 가지는 확률적 바람 모델과 크기 3 deg/s을 가지는 일정한 바람 모델로 구성되었으며, 일정한 바람 모델은 4초에 인가되도록 설계하였다.

Fig. 8.

Result of flight path angle in Case 1-2

Fig. 9.

Result of pitch angle and rate in Case 1-2

Table 3.

RMSE in Case 1-2

Fig. 10.

Disturbance model in Case 2-2

두 번째로, 모델 예측제어에서 발생한 비행경로 각 명령을 이용하여 지형 추종 성능을 시뮬레이션을 통해 분석해보았다. 시뮬레이션 40초에 이전 제어기 분석에서 사용된 외란과 80초에 공기역학 계수 c_m,δe가 40 프로의 불확실성을 인가하면서 지형 추종 성능을 분석하였다. Fig. 11은 비행체의 고도, WCP에 최소 여유 고도, 실제 지형의 고도를 나타낸다. 제안하는 기법을 통해 임무궤적 아래로 침하 하지 않고 비행을 하는 것을 보여준다. Fig. 12는 비행경로 각, 피치 각, 각속도의 그래프이며, 제안하는 기법은 외란 및 불확실성이 있더라도 제어 명령을 올바르게 추종하는 것을 확인하였다. Fig. 13은 모델 예측제어 기법의 계산 수행 시간으로, 평균 0.0258초로 약 38 Hz의 유도 명령을 계산할 수 있는 것으로 판단된다. 이와 같은 계산 속도는 추후 최적화 알고리즘의 개선을 통해서 더욱 향상할 수 있을 것으로 판단된다.

Fig. 11.

Result of height of aircraft in Case 2

Fig. 12.

Result of flight path angle, pitch angle, angular rate in Case 2

Fig. 13.

Computation time in Case 2