Performance Analysis of Gimbal-Servo System Based on Temperature Variation

Jaeheon Jeong

doi:10.9766/KIMST.2025.28.5.545

Abstract

This paper investigates the effect of temperature variation on the performance of a gimbal-servo system. The friction torque of the system was characterized through hysteresis loop measurements under different temperature conditions. Additionally, frequency response analysis was conducted, focusing on key results such as peak gain, gain margin, and phase margin. Experimental findings indicate that the Coulomb friction torque increases as the temperature decreases. Moreover, in the frequency response analysis, a rise in the damping coefficient was observed in the low-frequency region at lower temperatures, whereas the high-frequency region exhibited minimal temperature-dependent variation. To explain this behavior, this study models the Coulomb friction torque using an equivalent viscous damping coefficient that is inversely proportional to frequency.

Keywords: Temperature(온도), Gimbal(김발), Servo(서보), Performance(성능)

기 호 설 명

J: moment of inertia

K_Spring: spring constant

T_friction(t): friction torque

T_Coulomb: Coulomb friction torque

T_motor(t): motor torque

C_eq: equivalent viscous damping coefficient

θ(t): gimbal angle

서 론

김발은 기준축을 중심으로 회전하는 단축 구조체, 또는 단축 구조체가 직렬로 결합된 다축 회전구조체를 의미한다. 김발은 기준축을 중심으로 회전하기 위하여 베어링 및 부수 구조체로 구성되며, 각도 또는 각속도 제어를 위해 토크(Torque)를 발생시키는 모터와 각도 센서, 각속도 센서 등의 센서로 구성되기도 한다. 또한, 제어를 위해서는 서보 제어 시스템이 필요하며 본 논문에서는 김발과 서보의 결합체를 김발-서보 시스템이라고 정의하였다. 다양한 시스템이 김발-서보 시스템을 이용하여 물체를 특정 각도로 지향하도록 제어한다. 김발은 다양한 주제로 연구되어 왔다^[1–3].

김발은 다양한 환경에 노출될 수 있다. 특히 온도의 변화에 따라서, 김발 구조체는 수축 및 팽창을 겪게 된다. 이러한 수축 및 팽창은 직접적 기계 접촉이 일어나는 베어링 등의 성능 변화를 일으키게 되어 김발-서보 시스템의 성능에 영향을 주게 된다.

김발-서보 시스템의 성능을 평가하는 지표로서 마찰 토크 및 주파수 응답(frequency response) 측정을 들 수 있다. 마찰 토크는 김발이 회전하는 방향의 반대 방향으로 작용한다. 이러한 토크는 서보 제어 시 외란으로 작용하여 성능 저하를 유발하므로 핵심 성능 지표 중 하나로 간주 된다. 또한, 주파수 응답 측정 역시 안정성을 평가하는 요소인 이득여유(gain margin)와 위상여유(phase margin) 등을 측정할 수 있어 김발-서보 시스템의 성능을 평가하는 중요한 지표이다.

온도에 따른 성능, 특히 마찰 특성을 측정하는 연구가 다수 수행되어 왔다^[4,5]. 하지만 기존 연구에서는 다양한 온도가 아닌, 두 가지 온도의 경우에만 실험을 수행하였으며, 측정 각도 또한 연속적이지 않고 불연속적인 각도에서만 측정하였다. 무엇보다 마찰 특성 이외의 성능 변화는 관측하지 않았다.

본 논문은 기존 논문과는 달리 김발-서보 시스템에 인위적으로 설정된 다양한 온도에 노출시켜 실험을 수행하였으며, 연속적인 각도에 대한 마찰 토크뿐만 아니라 주파수 응답 측정의 결과 또한 어떻게 바뀌는지를 파악하고 분석하였다.

본론에서는 마찰 토크를 이력 곡선(hysteresis loop)을 활용하여 측정하였다. 이때 마찰 토크는 점성 마찰 토크(viscous friction torque)와 쿨롱 마찰 토크(Coulomb friction torque)로 나누어서 측정하였다. 다음으로 주파수 응답 실험을 진행하였으며, 마지막으로 주파수 응답 실험에서 나타난 현상을 수식을 이용하여 설명하였다.

본 론

본 논문의 실험에서의 김발-서보 시스템의 구성요소를 Fig. 1에서 확인할 수 있다. 김발-서보 시스템은 제어 명령, 제어에 필요한 토크를 계산하는 제어기, 제어기의 명령을 받아 필요한 전류를 생성해주는 전류 증폭기, 토크를 발생시키는 모터, 회전구조체 김발, 김발의 각속도를 측정하는 센서인 자이로스코프로 구성된다. 제어 명령, 제어기는 디지털 신호 프로세서(Digital Signal Processor)에서 처리된다.

Fig. 1.

Components of the gimbal-servo system

김발은 2축으로 구성되며, 하나의 축을 방위각(Azimuth)으로, 나머지 축을 고각(Elevation)으로 정의하며 각각의 회전구조체가 직렬로 연결이 된 구조이다.

온도 챔버를 사용하여 김발을 −30°에서부터 70°까지 25° 간격으로 순차적으로 노출시켰다. 각 온도에서 다양한 속도를 적용하여 마찰 토크 측정 실험을 진행하였고, 각도는 0 deg → 45 deg → −45 deg → 45 deg → 0 deg로 움직이도록 하여 수행하였다. 주파수 영역 실험은 1 Hz에서 200 Hz까지 해당하는 영역에 대하여 측정을 수행하였다. 모든 실험은 방위각과 고각 2축에 대하여 각각 수행하였다.

2.1 실험결과 - 마찰 토크

실험 결과는 Fig. 2와 같은 이력 곡선으로 나타난다. 이력 곡선에서 토크-각도 그래프는 네모난 모양으로 순환하는 결과를 보인다. 각도가 증가하거나 감소함에 따라 토크가 함께 변하는 이유, 즉 선의 기울기가 있는 이유는 각도에 비례하여 증가하는 외란 토크가 있기 때문이다. 이러한 토크는 케이블 등의 장력으로 인해 발생하며, 스프링 상수와 각도의 곱과 동일하다. 각도가 증가할 때의 이력과 각도가 감소할 때의 이력 사이에 간격이 존재며 이는 마찰 토크에 의해 발생한다. 마찰 토크는 운동방향의 반대방향으로 일정하게 작용하는 쿨롱 마찰 토크와 속도에 비례하는 점성 마찰 토크로 이루어지며, 이력 곡선상에서의 간격은 양방향에 대한 마찰 토크의 합을 의미하므로, 각도 방향에 따라 발생하는 마찰 토크의 특성이 동일하다면 그래프상의 간격은 쿨롱 마찰 토크와 점성 마찰 토크의 합의 2배에 해당한다. 또한, 0도에서 시작할 때(loading curve), 방향이 전환이 일어나는 끝 각에서 토크가 솟아있는 부분을 볼 수 있는데, 이러한 토크의 변화는 정지 마찰 토크(static friction torque) 및 동적 토크(dynamic torque)로 인해 발생하는 현상이다.

Fig. 2.

Hysteresis loop

2.1.1 점성 마찰 토크

점성 마찰 토크의 존재 여부를 확인하기 위해, 다양한 각속도에서 마찰 토크를 측정하였다. 각각의 온도에서 2.5 deg/s, 5.0 deg/s, 7.5 deg/s, 10.0 deg/s로 실험하여 이력 곡선이 어떻게 변화하는지 측정하였다. Fig. 3-7은 각각의 온도에서 다양한 속도에서 실험한 이력 곡선을 중첩한 결과 그래프이다.

Fig. 3.

Hysteresis loop(−30°)

Fig. 4.

Hysteresis loop(−5°)

Fig. 5.

Hysteresis loop(20°)

Fig. 6.

Hysteresis loop(45°)

Fig. 7.

Hysteresis loop(70°)

결과 그래프에서 각도가 양인 부분과 음인 부분에 대해 비대칭인 점을 확인할 수 있으며, 이러한 현상은 김발에 연결된 케이블의 형상이 각도가 양일 때와 음일 때 서로 다르기 때문이라고 추측할 수 있다. 또한, 토크가 0인 지점에 대해 대칭이 아니라 이력 곡선이 아래쪽으로 편향된 것을 관찰할 수 있는데, 이러한 현상은 전류 증폭기의 출력 전류 편향, 김발 질량 불균형과 중력에 의해 발생하는 토크를 상쇄하기 위한 토크로 인해 발생한다.

결과 그래프를 보면 0도에서 시작할 때와 양 끝 각도에서의 차이만 보일 뿐, 각속도 변화에 따른 이력 곡선 간격 변화는 관측되지 않았다. 따라서, 이 실험 결과를 바탕으로 각속도 변화에 비례하여 변화하는 점성 마찰 토크는 존재하지 않는다고 결론을 내렸다.

2.1.2 쿨롱 마찰 토크

쿨롱 마찰 토크를 확인하기 위하여 5 deg/s로 실험한 데이터를 온도별로 Fig. 8과 같이 그래프로 나타내었다.

Fig. 8.

Hysteresis loop comparison at various temperatures

온도가 낮아짐에 따라 마찰 토크와 스프링 상수가 증가하는 것을 확인할 수 있다. 상대적으로 고온일 때는 온도변화에 따른 마찰 토크 및 케이블 스프링 상수의 변화량이 크지 않지만, 온도가 저온일 때는 마찰 토크 및 케이블 스프링 상수의 값이 급격하게 증가함을 볼 수 있다.

온도에 따라 측정된 마찰 토크(쿨롱 마찰 토크)와 스프링 상수를 Fig. 9-10에 정리하였다.

Fig. 9.

Variation of Coulomb friction with temperature

Fig. 10.

Variation of spring constant with temperature

마찰 토크와 스프링 상수가 저온에서 급격히 증가하는 이유는 다음과 같이 설명할 수 있다. 온도로 인하여 베어링 등의 부피 변화가 발생할 수 있으며 이로 인해 조립성이 나빠지므로 마찰 토크가 증가할 수 있다. 또한, 온도 변화로 인해 케이블 재질의 강성이 증가하면, 스프링 상수 또한 증가하게 된다.

2.2 실험결과 - 주파수 응답

Fig. 11-14는 주파수 응답 결과이다. Fig. 11-12는 1 Hz 에서 200 Hz까지 측정한 결과이고 Fig. 13-14는 1-5 Hz 부분을 확대한 결과 그래프이다. 온도에 따라 변화가 대략 1-5 Hz 구간에서는 식별이 되나, 그 이후의 주파수 영역에서는 특별한 차이점을 식별할 수 없다. 최대 이득(peak gain)이 발생하는 주파수는 대략 1.4 Hz에서 발생하였으며, 온도가 낮아짐에 따라 최대 이득이 감소함을 확인할 수 있었으며, 위상이 완만하게 바뀌는 점을 관찰할 수 있었다. 이러한 현상은 주파수 응답에서 감쇠(damping)가 증가할 때 나타나는 현상과 유사하다.

Fig. 11.

Frequency response(azimuth), open loop

Fig. 12.

Frequency response(elevation), open loop

Fig. 13.

Frequency response(azimuth), open loop, 1-5 Hz

Fig. 14.

Frequency response(elevation), open loop, 1-5 Hz

시스템의 안정성을 평가하는 항목인 이득여유 및 위상여유 또한 측정하였지만, 온도에 따라 변화하는 양상은 확인할 수 없었다. 온도에 따른 변화를 확인할 수 없는 이유는 이 항목들이 평가되는 주파수가 고주파수 영역이기 때문이다.

Fig. 15-17은 측정온도에 따른 최대이득, 이득여유, 위상여유의 측정값을 표시한 그래프이다.

Fig. 15.

Variation of peak gain with temperature

Fig. 16.

Variation of gain margin with temperature

Fig. 17.

Variation of phase margin with temperature

주파수 응답 실험의 결과를 정리하면, 온도가 낮아짐에 따라 저주파수 영역에서는 최대이득이 감소하는 현상과 위상이 완만하게 변화하는 결과로 미루어 보아 감쇠 성분이 증가하는 것처럼 보였지만, 고주파수 영역에서는 온도 변화에 따른 이득여유 및 위상여유의 특별한 변화가 관찰되지 않았다.

2.3 실험결과 분석

저주파수 영역에서만 감쇠가 증가하는 실험 결과에 대해 수식을 이용하여 분석해보았다. 한 축에 대한 회전 운동방정식은 아래와 같이 표현할 수 있다.

(1)

Jθ¨ (t)+KSpringθ(t)+Tfriction(t)=Tmotor(t)

이때, 각도 θ(t)는 아래와 같다고 가정한다.

(2)

θ(t) = Asin (ωt)

이력 곡선 측정 실험을 통해 점성 마찰 토크는 존재하지 않고 오직 쿨롱 마찰 토크만 있다고 확인하였으므로 아래와 같이 표현할 수 있다.

(3)

Jθ¨(t) + KSpringθ(t) + TCoulombθ˙(t)|θ˙(t)|=Tmotor(t)

쿨롱 마찰 토크로 표현된 부분을 해석하기 위하여 선형적인 요소로 바꿀 필요가 있다. 이를 위해, 쿨롱 마찰 토크를 등가 점성 감쇠 계수(C_eq)를 이용하여 점성 감쇠력으로 표현하였다^[6]. 쿨롱 마찰 토크로 인해 소산되는 에너지와 등가 점성 감쇠 계수로 표현되는 점성 마찰 토크로 소산하는 에너지가 동일하다고 가정하여 아래와 같은 수식으로 표현하였다.

(4)

WCoulomb = Wviscous

여기서 왼쪽 항이 쿨롱 마찰 토크로 인해 소산한 에너지이고 오른쪽 항은 등가 점성 감쇠 계수로 인해 소산한 에너지이다. 한 주기에 움직이는 총 각도는 사인함수의 최대 각도()의 4배이므로 쿨롱 마찰 토크의 곱으로 아래와 같이 표현된다.

(5)

WCoulomb =4 TCoulombA

마찬가지로 한 주기에 등가 점성 감쇠 계수로 소산한 에너지는 아래와 같이 계산된다.

(6)

Wviscous=∫0TCeqθ˙2(t)dt=CeqA2ωπ

5번과 6번식을 동일하다고 가정하고 정리하면 아래와 같이 등가 점성 감쇠 계수를 구할 수 있다.

(7)

Ceq= 4TCoulombπω A

구해진 등가 점성 감쇠 계수를 회전 운동방정식에 대입하면 아래와 같다.

(8)

Jθ¨(t)+4TCoulombπωA θ˙(T)+KSpringθ(t)=Tmotor(t)

정리된 식을 통해 다음과 같이 설명할 수 있다. 저주파수 영역일 때는 ω 값이 낮아져 상대적으로 C_eq 값이 커지므로 운동방정식에 뚜렷한 영향을 끼치지만, 고주파수 영역일 때는 ω 값이 커져 상대적으로 C_eq 값이 무시된다. 따라서, 주파수 응답 측정에서 저주파수 영역에서만 온도 감소에 따른 감쇠 성분 증가 현상과 고주파수 영역에서 온도 감소에 따른 변화가 없는 현상을 설명할 수 있다.

결 론

본 논문에서는 김발-서보 시스템을 다양한 온도에 노출시킨 후 각 온도에서의 마찰 토크 및 주파수 응답을 측정하고 분석하였다. 속도별 이력 곡선 측정을 통해 점성 마찰 토크가 존재하지 않음을 확인하였으며, 온도별 이력 곡선 비교 결과, 온도가 낮아질수록 쿨롱 마찰 토크가 증가함을 확인하였다.

주파수 응답 실험을 통해 저주파수 영역에서는 온도가 낮아짐에 따라 감쇠 성분이 증가하는 현상을 확인할 수 있었으나, 고주파수 영역에서는 온도의 변화에 따른 성능 변화를 관측하지 못하였다. 이러한 현상을 설명하기 위해 쿨롱 마찰로 소산한 에너지와 등가 점성 감쇠 계수로 인해 소산한 에너지를 등가로 가정한 후, 등가 점성 감쇠 계수를 구하였으며, 등가 점성 감쇠 계수와 주파수와의 관계를 수식적으로 파악하여 이러한 현상을 설명할 수 있었다.