2.1 태양광 센서 신호 처리

회전안정형 탄체의 자세를 측정하기 위해 탄체의 내부에는 두 개의 태양광 센서가 장착되며 탄체의 외부에 얇은 슬릿 형태의 구멍을 내어 센서가 태양광을 감지할 수 있도록 한다. 이 때 구멍은 탄체가 회전하는 도중 센서가 태양을 향하지 않을 때에는 신호가 거의 발생하지 않고 태양을 향할 때에는 산봉우리 형태의 신호가 나타나도록 설계한다. 탄체의 자세 벡터와 태양 위치 벡터가 수직일 경우 태양광 센서의 신호는 Fig. 1의 (a)와 같이 발생한다. 탄체가 고속으로 회전하고 있어 1번 태양광 센서의 산봉우리 신호와 2번 태양광 센서의 산봉우리 신호 발생 간격이 같게 나타나며, 태양광 센서가 회전축에 대해 대칭으로 부착되어 있다면 태양광 센서 간 신호 발생 간격(τ₁₂)은 각 태양광 센서의 신호 발생 간격(τ)의 절반으로 나타난다.

Fig. 1.

Example of signals of solar sensors equipped in spin-stabilized projectiles

만약 탄체의 자세 벡터와 태양 위치 벡터가 수직이 아닐 경우 태양광 센서의 신호는 Fig. 1의 (b)와 같이 나타난다. 태양광 센서가 회전축에 대해 대칭으로 부착되어 있을 때, 각 센서 간 신호 발생 간격(τ₁₂)이 각 태양광 센서의 신호 발생 간격(τ)의 절반이 아닌 특정 값을 가진다. 이 값은 탄체의 자세 벡터와 태양 위치 벡터 사이의 각도 σ_S에 따라 달라진다. 이러한 특성을 이용한다면 태양광 센서 신호의 특성비 λ를 다음과 같이 정의하여 탄체 자세 벡터와 태양 위치 벡터 사이의 각도 σ_S를 계산할 수 있다.

태양광 센서 신호의 특성비 λ와 각도 σ_S의 관계는 기하학적으로 다음과 같이 수학적으로 계산할 수 있다. Fig. 2와 같이 탄체 내부에 태양광 센서 2개가 내장되었다고 가정한다면, 1번, 2번 태양광 센서의 슬릿이 탄체 회전축과 이루는 각을 각각 γ₁, γ₂로 나타낼 수 있고 각 슬릿 중심 사이의 원주 거리(angular distance)를 β로 나타낼 수 있다. 이 때 x축을 탄체 회전축, z축을 1번 태양광 센서의 중심을 지나며 x축에 수직인 축, y축을 z, x축과 수직인 축으로 하여 탄체에 고정된 직각좌표계를 정의한다. 탄체 좌표계에서 1번, 2번 태양광 센서의 신호가 나타나기 위해서는 태양이 각각 다음 식으로 표현되는 평면에 있어야 한다.

Fig. 2.

A schematic of solar sensors equipped in spin-stabilized projectiles

탄체의 회전속도를 ω라 하면

의 관계가 성립하며 탄체 좌표계에서 태양 위치 벡터(SB→ )는 각도 σ_S를 이용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

식 (5)의 t는 태양이 zx평면에 있을 때로부터 경과된 시간이다. 1번 태양광 센서의 신호가 나타났을 때의 시간을 t₁이라 하면 식 (2)∼(5)을 이용하여 다음 식을 유도할 수 있다.

식 (1), (6), (7)을 이용하면 태양광 센서 신호의 특성비 λ와 각도 σ_S의 관계식을 다음과 같이 구할 수 있다.

위 관계식을 이용하여 태양광 센서 신호의 특성비 λ를 이용해 각도 σ_S를 측정할 수 있지만 실제로는 슬릿의 깊이와 크기, 기하학적 치수인 γ₁, γ₂, β 등의 불확실성 등으로 인한 측정 오차가 발생할 수 있다. 실제 포 발사 실험을 할 때에는 태양을 모사하는 조명과 탄체 간 각도를 변화시키면서 특성비를 계측하여, 태양광 센서 신호의 특성비 λ와 탄체 자세 벡터와 태양 위치 벡터 사이의 각도 σ_S 사이의 관계식을 구하였다.

2.2 지자기 센서 신호 처리

회전안정형 탄체의 자세를 측정하기 위해 탄체의 내부에 두 개의 축을 구성하도록 지자기 센서를 내장하였다. 두 센서는 각각 탄체의 회전축과 일치하도록, 탄체의 회전축과 수직을 이루도록 부착되었다. 이 때 탄이 회전하고 있으므로 탄체의 회전축과 수직인 지자기 센서는 사인파 모양의 신호를 나타낸다. 지구자 기장 벡터 M→과 탄체 자세 벡터 P→ 사이의 각도 σ_M은 Fig. 3과 같이 탄체의 회전축과 일치하는 지자기 센서의 신호 값(M₀)과 탄체의 회전축과 수직인 지자기 센서 신호의 사인파 크기 값(M₉₀)의 탄젠트 값을 통해 계산할 수 있다.

Fig. 3.

A schematic of geomagnetic sensors equipped in spin-stabilized projectiles

이러한 방식으로 계산한 지구자기장 벡터와 탄체 자세 벡터 사이의 각도 σ_M은 다음과 같은 오차를 가진다. 첫째로 별도의 보정 단계를 거치지 않는다면 지자기 센서의 부착 위치 및 각도 틀어짐에 의한 센서 신호 값 오차를 가진다. 둘째로 지자기 센서가 내장된 탄체가 자성을 갖는 금속으로 만들어졌을 경우 탄체 가공 과정에서 유도 자기장과 영구 자기장을 탄체가 갖게 되어 지자기 센서 신호가 오차 값을 가진다. 셋째로 자성을 가진 탄체가 포에서 발사될 경우 발사 충격으로 인해 유도 자기장과 영구 자기장 값이 변화하여 지자기 센서 신호가 오차 값을 가진다.

이러한 문제를 해결하기 위해 포 발사 시험을 통해 획득한 지자기 센서 신호 값 보정을 다음과 같이 수행하였다. 첫째로 발사 시각, 위치에서의 지구 자기장 벡터의 크기를 계산한다. 지구 자기장 벡터는 미국의 NOAA(National Oceanic and Atmospheric Administration)에서 제공하는 세계 자기 모델(World Magnetic Model, WMM)을 이용하여 계산하였다. 둘째로 탄체의 회전축과 일치하는 지자기 센서의 신호 값 M₀과 탄체의 회전축과 수직인 지자기 센서 신호의 사인파 크기 값 M₉₀에서 탄체의 유도 자기장과 영구 자기장 성분 값 을 찾아낸다. 이 때 M₉₀은 사인파의 크기 값으로, 계산 과정에서 사인파의 편향(bias)이 제거되므로 탄체의 영구 자기장 성분을 무시할 수 있다. 탄체 회전축 방향의 유도 자기장 성분을 I₀, 영구 자기장 성분을 P₀, 탄체 회전축과 수직인 방향의 유도 자기장 성분을 I₉₀, 발사 시각, 위치에서의 지구 자기장 벡터의 크기를 M이라 하면 다음과 같은 식이 성립한다.

탄체의 탄도 비행 구간에서 지구 자기장 벡터의 변화가 무시할 만하다고 가정한다면, 식 (9)는 탄도 궤적 전 구간에서 성립한다. 탄도 궤적 전 구간 N개의 지자기 센서 신호 값에 대하여 식 (9)는 식 (10)과 같은 행렬식으로 나타낼 수 있으며, 식(10)을 이용해 영구 자기장 성분 P₀값에 따른 유도 자기장 성분 I₀, I₉₀의 값을 식 (11)과 같이 역함수를 이용한 최소 자승법을 통해 계산할 수 있다.

그 후 식 (11)로 구한 유도 자기장 성분을 이용하여 지구 자기장 추정 오차 ∆M을 다음과 같이 정의한다.

식 (11), (12)를 이용하면 영구 자기장 성분 P₀값을 변수로 하여 목적함수 ∆M을 최소화하는 최적화 문제를 풀어, 지구 자기장 벡터의 변화가 최소인 P₀, I₀, I₉₀값이 계산된다. 최적화를 통해 구한 P₀, I₀, I₉₀값을 이용해 지자기 센서의 부착 위치 또는 각도 틀어짐에 의한 센서 신호 값 오차와 탄체의 자성에 의한 오차를 보상할 수 있다.

기존 연구에서는 두 개의 지자기 센서를 각각 탄체의 회전축과 일정 서로 다른 특정 각도를 이루도록 부착하여 영점 교차(zero crossing) 지점의 간격을 이용하는 방법을 통해 지구자기장 벡터와 탄체 자세 벡터 사이의 각도 σ_M을 계산하였다^[2,3,5]. 이 방법을 사용하기 위해서는 지자기 센서 신호의 영점 교차 지점으로부터 계산되는 특성비와 각도 σ_M의 관계식을 알고 있어야 한다. 따라서 지자기 센서를 사용하기 전에 관계식을 확인하는 별도의 과정을 거쳐야 하나, 본 연구에서 사용한 방법을 사용한다면 생략이 가능하다.

2.3 자세 측정

태양광 센서를 통해 계산한 태양 위치 벡터와 탄체 자세 벡터 사이의 각도 σ_S와, 지자기 센서를 통해 계산한 지구자기장 벡터와 탄체 자세 벡터 사이의 각도 σ_M을 이용해 탄체의 자세를 계산하기 위해서는 태양 위치 벡터 S→와 지구자기장 벡터 M→을 계산해야한다. 지구자기장 벡터는 지자기 센서 신호를 처리하는 과정에서 계산하였다. 태양 위치 벡터를 계산하기 위해서는 Fig. 4에서와 같이 여러 번의 좌표 변환을 이용하여 계산한다^[6]. 계산 순서는 다음과 같다. 첫째로 발사 시각으로부터 그리니치 평균시(Greenwich Mean Time, GMT) 시각으로 2000년 1월 1일 낮 12시부터 지난 일 수를 계산한다. 이 값을 n이라 했을 때, 황도좌표계(ecliptic coordinates)에서 태양의 평균 황경(mean longitude) L을 다음과 같이 계산할 수 있다.

Fig. 4.

Coordinate systems used to calculate position of the sun

태양의 평균 근점 이각(mean anomaly) g는 다음과 같이 계산할 수 있다.

태양의 평균 황경, 평균 근점 이각을 이용하여 황경(ecliptic longitude) λ_S는 다음과 같이 계산한다.

둘째로 황도좌표계에서의 태양의 위치를 적도좌표계(equatorial coordinates)로 변환한다. 황도 경사(obliquity of the ecliptic) ε을 23.439°로 근사하여 태양의 적위(declination) δ는 다음과 같이 계산한다.

셋째로 식 (16)을 통해 계산한 적도좌표계에서의 태양의 적위를 이용하여, 지평좌표계(horizontal coordinates)에서 태양의 위치를 계산한다. 지평좌표계에서의 태양의 위치는 태양 방위각(solar azimuth angle) ϕ_s와 태양 고도각(solar elevation angle) α_S로 나타낼 수 있으며 h를 시각(hour angle), Φ를 포 발사 위치의 위도로 정의할 시 각각 다음 식을 통해 계산할 수 있다.

마지막으로, 지평좌표계에서의 태양의 위치를 지역 NED 좌표계(local NED coordinates)로 변환한다. 직교좌표계로 나타낸 태양 위치 벡터는 다음 식으로 표현된다.

태양 위치 벡터 S→와 지구 자기장 벡터 M→와 각각 σ_S, σ_M의 각도를 갖는 탄체의 자세 벡터는 Fig. 5와 같이 최대 두 개 존재한다. 이 때 S→와 M→은 평행하지 않아야 하며, 두 벡터 간 ϕ의 각도를 가지며 한 평면을 이루어야 한다. 탄체의 자세 벡터를 P→로, 지구 자기장 벡터의 단위 벡터 m→,S→, m→, P→의 관계를 다음의 행렬식으로 나타낼 수 있다.

Fig. 5.

Attitude vectors of a spin-stabilized projectile calculated with the solar/geomagnetic sensors

식 (20)의 동차 해(homogeneous solution) Ph→는 다음과 같이 계산할 수 있다.

식 (20)의 비동차 해(non-homogeneous solution) Pnh→는 S→·m→ = cos∅임을 이용하여 다음과 같이 S→와 M→의 선형 결합으로 나타낼 수 있다.

탄체 자세 벡터 P→는 P→=k·Ph→+Pnh→을 통해 계산할 수 있으며, 탄체의 자세 벡터의 크기의 값이 1(P→ = 1)이라는 제한 조건을 이용하면 k의 값은 다음과 같이 계산된다.

식 (23)에서 ∅ = σS + σM 또는 ∅ = σS - σM 조건에서 k의 값이 0이 되며, 이 때 탄체의 자세 벡터는 하나의 값으로 계산된다.

한편, 탄체 자세 벡터 P→와 탄체의 오일러 자세 각(Pitch θ, Yaw ψ)은 다음의 관계를 가진다.

식 (24)에서 탄체의 yaw ψ는 북쪽을 0도로 하여 시계방향이 양의 값을 가지도록 계산된다.